Método de Bisección

Contenido

1. Trabajando con funciones

FMSLogo puede evaluar funciones primitivas, de la biblioteca, o definidas por el programador con el función invoca. Por ejemplo en la línea de comandos de FMSLogo podemos escribir:

la variable f tiene como valor la palabra sen leida desde el teclado, sen es una función primitiva (es parte del lenguaje) que trabaja en grados

la variable f tiene como valor la palabra doble que es una función definida desde la línea de comandos

la variable f tiene como valor una lista equivalente a la función matemática: f(x) = 2 · sen(x)

2. Descripción de Método de Bisección

Trabajemos con la ecuación:

cos(x) = 0.01 · x

Esta ecuación no puede resolverse por métodos algebráicos. Es necesario utilizar métodos númericos para encontrar un valor de x que satisfaga la ecuación. Uno de estos métodos es el método de bisección. El método busca el valor de x para el que una función continua devuelve cero. Por lo que definamos la función, a partir de la ecuación anterior, de la siguiente manera:

f(x) = 0.01 · x - cos(x)

Si encontramos un valor de x adecuado para el que la función f es cero, podremos plantear:

Y consecuentemente, la ecuación se cumplirá.

El método necesita un intervalo tal que, para un extremo del intervalo, el valor de la función sea nagativo y para el otro extremo del intervalo, el valor de la función sea positivo. Veamos si esto se cumple para el intervalo (-200,200):

Efectivamente, existe una raíz de la ecuación en el intervalo (-200,200).

Podemos producir una gráfico de la función f utilizando los procedimientos de la biblioteca LogoFE.

El método de bisección evalúa la función en el extremo izquierdo y derecho del intervalo. Luego calcula el valor intermedio entre los extremos y evalúa la función en este valor intermedio. Luego redefine el intervalo utilizando el valor intermedio, de tal manera que los valores de la función en los extremos del nuevo intervalo tengan diferente signo. El procedimiento imprime.linea nos muestra los resultados parciales:

Al ejecutar el procedimiento bisección en el intervalo (-200,200) obtenemos:

Vemos cómo, inicialmente, el intervalo va de -200 a 200, posteriormente se reduce a la mitad: (0,200) y luego a la mitad (0,100). Así mismo, la función f va devolviendo valores cada vez más cercanos a cero para deferentes valores intermedios; inicialmente es -1.000 y luego de diez repeticiones es -0.003.

Al final de estas 10 repeticiones, el valor estimado para x es 55.859. Veamos cuán bien funciona x = 55.859 como raíz de la ecuación.

cos(x) = 0.01 · x

0.56123 = 0.55859 (aproximadamente)

3. Adaptación Gráfica

Si dentro del procedimiento biseccion reemplazamos el comando imprime.linea por el comando dibuja.intervalo cuyo procedimiento está a continuación

obtenemos la representación gráfica de los sucesivos intervalos encontrados, al escribir lo siguiente en la línea de comandos de LogoFE:

4. Mayor Precisión

Podemos mejorar la aproximación del valor de x modificando el procedimiento biseccion de tal manera que realize más repeticiones. Es más, podemos decirle que siga refinando la solución hasta que el intervalo sean tan estrecho como querramos:

5. Aplicaciones

El procedimiento biseccion puede utilizarse para resolver muchos tipos de problemas. Por ejemplo, para resolver ecuaciones de una variable sin tener que despejar, para encontrar la raíz cuadrada de 2,

para encontrar las raíces de un polinomio: f(x) = x⁵ + x⁴ - 3 x³ - 2

6. Licencia

Este es un documento libre.

Autor: Daniel Ajoy

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7. Preguntas, Dudas, Comentarios, Peticiones

8. Enlaces