Problema de Sexto Grado de la China

LogoFE es Logo Functional Extensions, una librería de procedimientos para ser usados con FMSLogo. El objetivo de LogoFE es proporcionar un gran "caja de herramientas" para la construcción de pequeños programas útiles o para explorar temáticas de Matemáticas, Física, Química, Estadística y otras materias de escuela, colegio y universidad.

1. El problema

El 7 de Agosto de 2016 salió este video en Youtube. Consiste en calcular el área roja de este dibujo:

Imagen: problema sexto grado en china

2. Otra Solución

No lo ví con mucho detenimiento porque utiliza Trigonometría y Álgebra. Sí vi el final donde llegan a una expresión, y luego para tener una idea de a qué número corresponde esa expresión, tienen que aproximar la respuesta. Esa historia ya es conocida y nuevamente vamos a presentar un desarrollo que no utiliza Trigonometría sino Geometría Analítica representada en la fórmula de la curva de un círculo:

Imagen: 000681675

Y también, un comando por ahí (LogoFE) que calcula el área debajo de curvas, algo muy general y útil.

Primero calculamos los tres trocitos de área fáciles. Los tres son iguales al área debajo de esta curva:

logofe
LogoFE Cargado para FMSLogo!

borrapantalla
graflineas [[DeIz: [100 -100]] [SuIn: [100 -100]] [Xmin: 0][YMax: 10]] ~
recorrido [5 - rc 25 - (? - 5)*(? - 5)] dominio [5 10 100]

Imagen: area1

Usamos el comando para calcular el área debajo de esa curva en el intervalo de 5 a 10, y luego la multiplicamos por 3.

haz "a1 3 * integra [invoca [5 - rc 25 - (? - 5)*(? - 5)]] [5 10]
muestra :a1
16.0951377496229

Luego calculamos el trocito de área que falta, el de la esquina superior derecha del dibujo, el cual tiene como borde esta curva:

borrapantalla
graflineas [[DeIz: [200 -200]] [SuIn: [100 -100]] [Ymin: 0] [XMin: 0]] ~
recorrido [5 + rc 25 - (? - 15)*(? - 15)] dominio [15 20 100]

Imagen: area2

Y esta otra curva (recta):

borrapantalla
graflineas [[DeIz: [200 -200]] [SuIn: [100 -100]] [Ymin: 0] [XMin: 0]] ~
recorrido [? / 2] dominio [15 20 100]

Imagen: area3

Restando la una de la otra y evitando incluir áreas negativas tenemos:

borrapantalla
graflineas [[DeIz: [200 -200]] [SuIn: [100 -100]] [Ymin: 0] [XMin: 0]] ~
recorrido [max lista 0 (? / 2) - (5 + rc 25 - (? - 15)*(? - 15))] dominio [15 20 100]

Imagen: area4

Usamos el mismo comando para calcular áreas debajo de curvas y no nos preocupamos de los "límites de integración" porque... ¿para qué?

haz "a4 integra [invoca [max lista 0 (? / 2) - (5 + rc 25 - (? - 15)*(? - 15))]] [15 20]

muestra :a4
3.40880977628948

Y ya, salió lo mismo que en el video:

muestra :a1 + :a4
19.5039475259124

3. Licencia

Este es un documento libre.

Autor: Daniel Ajoy

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Fecha: 00:20 - Aug 10, 2016