Aprendizaje De Ángulos

Autores:
Prof. Havlik Jarmila M.
Prof. Schumacher Silvia

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Contenido

1. Planificación de actividades para llevar a cabo con los 5tos. grados

Se propone que los alumnos de 5to. año aprendan ciertos contenidos de geometría de manera no homogénea, pautando etapas diferentes para cada uno, aunque arribando todos a los mismos contenidos al finalizar la situación de investigación.

Esto se planifica para poder determinar si los métodos y recursos influyen en los conocimientos de los chicos respecto de la noción de amplitud de ángulo, y si se nota la influencia, averiguar en qué medida esta se da.

A tal fin, al terminar de trabajar estos contenidos, se les realizarán preguntas iguales, para determinar si hay variaciones en los tipos de respuesta y de justificación.

1.1. Trabajan en Logo y mientras tanto no aprenden ángulos con la maestra

Este grupo realiza ejercicios con la tortuga. Estos ejercicios implican la noción de ángulo y su medición en amplitu de giro.

1.1.1. Ejercicio Nro. 1

Para dibujar esta calle se usarán las siguientes órdenes:

ADELANTE , ATRAS, DERECHA, IZQUIERDA, CP, SP, PB Y REPITE.

1.1.2. Ejercicio Nro. 2

Para este dibujo los alumnos utilizarán giros de 45 grados, además de los de 90. En caso de confusión de orientación, para no inducir a operaciones con ángulos, se indicará la posibilidad de aplicar la orden FRUMBO 0. No conviene indicar otros rumbos, para con complicar la noción de orientación relativa con la absoluta.

1.1.3. Ejercicio Nro. 3

Dibujar “palmeras” de diferente candidad de ramas.

Datos: explicacion acerca de la conservación de loos 360 grados aunque cambie la candidad y amplitud de los giros.

Inducir a los alumnos a que pongan las instrucciones en el siguiente orden: primero el tronco, y luego el repite de las ramas.

Explicar:

Los palitos llamados ramas conviene realizarlos poniendo para cada uno la orden ADELANTE y luego ATRAS, a fin de llegar siempre al centro y poder calcular el giro.

Hay que contar la cantidad y de acuerdo a ello aplicar la orden REPITE.

Se requiere que den una sola vuelta, para lo cual se puede informarles que el total es de 360 grados y que no se pueden pasar.

Al completar todo esto, se efectuará un ejercicio, en el que se pedirá a los alumnos que escriban las órdenes (ya podría ser en forma de pequeños programas) para que la tortuga dibuje:

1. Un ángulo recto
2. Un ángulo agudo
3. Un ángulo obtuso
4. Un ángulo llano
5. No dar ninguna medida, sólo la recomendación de que el diseño del ángulo conviene programarlo poniendo para cada orden ADELANTE, una ATRAS, así es más fácil medir el giro.

1.2. Trabajan en geometría con la maestra, y no trabajan con la tortuga en Logo

Más adelante se verá cómo influye esto.

1.3. Trabajan simultaneamente el tema con la maestra y en la clase de computación

Es decir, estre grupo tendrá tanto la información desde el Logo, como la tradicional, desde la enseñanza.

Se recomienda a la maestra utilizar sus recursos tradicionales, no buscar variaciones en función de esta investigación.

1.4. Síntesis

En síntesis, este grupo trabaja en Logo haciendo todas las actividades del primer grupo, y al mismo tiempo la maestra de grado les enseña angulos, medición y todo lo que habitualmente implica el tema.

2. Una Nueva Mirada Sobre El Angulo

2.1. Resumen

La Conservación de la Amplitud de los Ángulos, enfoque psicogenético e implicancias didácticas” (Nro. de Resolución de Aprobación UBACYT 1947/95).

Es nuestro propósito ofrecer a los especialistas en educación la posibilidad de interiorizarse en un proyecto de investigación en curso desde el año 1994

Dicha investigación tiene como objetivo conocer la psicogénesis de un contenido curricular: ángulos ; determinando el saber que espontáneamente tienen los niños al momento de iniciar el dictado del tema en una clase escolar. Mostrar si hay diferencias entre las hipótesis originales y los supuestos a tener en cuenta en la presentación escolar del tema. A partir de esta experiencia ofrecer lineamientos para una didáctica acorde a la actividad constructiva de los niños.

El marco conceptual y metodológico recibe los aportes de la epistemología genética en sus derivaciones actuales en el ámbito del aprendizaje. Evaluar la influencia en la adquisición de estas nociones ante la utilización de otros recursos didácticos, por ejemplo el uso del lenguaje Logo en computación.

La hipótesis general en la que nos basamos es que la comprensión de la amplitud del ángulo, como magnitud, se logra cuando se discrimina dicha noción de otros factores relativos a la configuración de constructos geométricos más generales.

2.2. La Conservación De La Amplitud De Los Angulos

_Psicogénesis de un contenido curricular.Implicancias didácticas_

La idea de investigar este tema surgió de haber encontrado, en la práctica docente de computación en escuela primaria -con Lenguaje Logo, ciertos errores que se reiteraban. Uno de ellos era el calificar como más grande o más chico a los ángulos -todos rectos- delimitados por semirrectas más largas o más cortas, respectivamente.

Por ese motivo, las primeras preguntas exploratorias volvían sobre lo mismo, para constatar si ese error era o no típico de los chicos de cierto nivel de conocimiento del tema. Las respuestas infantiles fueron más allá de lo esperado, y nos dieron lugar a pensar nuevas preguntas destinadas a desplegar mejor sus ideas originales.

No es propósito de esta investigación ubicar el objeto "ángulo" en un contexto epistemológico tal que quede situado dentro de la matemática en general y de una geometría en particular sino, dentro del campo de aplicación de las Ciencias de la Educación, dirigirnos hacia las derivaciones que se abren ya desde nuestra aproximaciones a la cuestión. Además, el tema es específicamente un contenido escolar, y requiere otro tipo de abordaje que aquél de las disciplinas científicas clásicas.

El reconocimieto de que los contenidos escolares tienen un alto grado de especificidad y de que, en consecuencia, su construcción no puede entenderse como un puro y simple reflejo del proceso general de construcción de las estructuras intelectuales -que son, por definición, no específicas y relativamente universales-, ha llevado a algunos investigadores a plantear de una manera novedosa el tema de la adecuación entre contenidos escolares y niveles de construcción psicogenética.

El equipo docente que propone este tema, está abocado desde el año 1994, a la investigación denominada “La Conservación de la Amplitud de los Ángulos, enfoque psicogenético e implicancias didácticas” (Nro. de Resolución de Aprobación UBACYT 1947/95). Dicha investigación tiene como objetivo conocer la psicogénesis del contenido curricular denominado genericamene: ángulos ; determinando el saber que espontáneamente tienen los niños al momento de iniciar el dictado del tema en una clase escolar. Mostrar si hay diferencias entre las hipótesis originales y los supuestos a tener en cuenta en la presentación escolar del tema. A partir de esta experiencia ofrecer lineamientos para una didáctica acorde a la actividad constructiva de los niños.

El marco conceptual y metodológico recibe los aportes de la epistemología genética en sus derivaciones actuales en el ámbito del aprendizaje. Además deseamos evaluar la influencia, en la adquisición de estas nociones, de la utilización del lenguaje de computación Logo, como recurso didáctico. Dicho lenguaje ofrece una manera diferente de tratar el tema y da lugar a otras formas de acceder de los niños al aprendizaje de estas nociones.

La hipótesis general en la que nos basamos es que la comprensión de la amplitud del ángulo, como magnitud, se logra cuando se discrimina dicha noción de otros factores relativos a la configuración de constructos geométricos más generales.

Encuadrar una investigación en la teoría psicogenética implica:

• Caracterizar de determinada manera al objeto de conocimiento de que se trata; una clasificación general distingue entre:
• Objeto lógico-matemático: el sujeto aplica sus esquemas y desarrolla razones con las cuales explica el sistema de transformaciones.
• Objeto físico: atribuye sus operaciones a la realidad, para poder interpretarla, y elabora hipótesis sobre su manera de ser, formulando relaciones causales.
• Objeto geométrico: es muy particular, comparte con los anteriores el alto grado de matematización, pero tiene asidero en el mundo físico; no obstante, sobrepasa siempre a cualquier representación, ningún objeto llega a corresponder a su modelo geométrico.
• Adoptar el concepto de "observable", para referirnos al objeto de conocimiento, ya que éste depende de los esquemas de asimilación de que dispone el sujeto.

Ahora bien, para ofrecer lineamientos didácticos fundamentados experimentalmente para la adquisición de nociones geométricas, se requiere entre otras cosas determinar si los errores de los chicos respecto del concepto de ángulo y la apreciación de sus características, se pueden interpretar como :

• El efecto de apelar a una geometría que no brinda instrumentos adecuados para entender las propiedades del ángulo en sentido métrico, por ejemplo la geometría topológica.
• Si también interviene una aplicación exclusiva de esquemas infralógicos, (dependencia-independencia de la figura ) de manera tal que el “observable” no sea el ángulo en el sentido euclidiano, sino una figura con otra significación.
• Si los criterios de enseñanza que no tienen en cuenta que el sujeto es constructor tanto del objeto de conocimiento como de sus estructuras de pensamiento derivan en una didáctica de ese contenido que no promueve dicho proceso de construcción.
• Si no se tiene en cuenta recursos didácticos suficientes y necesarios que permitan la apropiación de dicho contenido, respetando las propiedades específicas del mismo.
• Si la adquisición de la noción de ángulo se apoya en otras nociones de la geometría que hacen posible su construcción, y éstas no son conocidas o tenidas en cuenta. (Tomaremos en cuenta la evolución de estas variables para brindar apoyo teórico a las sugerencias didácticas).

El método de indagación ha permitido poner de manifiesto una y otra vez ciertas constantes en el pensamiento infantil que, una vez que puedan ser correctamente interpretadas en el contexto teórico, permitirán brindar información para producir lineamientos didácticos acordes con esas ideas, así como con los conceptos geométricos objeto de la enseñanza, que culminan en el conocimiento de las propiedades del ángulo. Por ejemplo que:

• la medición de ángulos con un total de 360º se origina y sostiene en la geometría euclidiana.
• la concepción euclidiana del espacio lo considera " un continuo totalmente dado, infinito, de tres dimensiones reversibles, homogéneo...(...) En ese espacio las figuras pueden ser transportadas sin sufrir modificaciones, es decir, sin que varíe ninguna de las relaciones entre sus partes."
• en esta geometría, uno de sus postulados (el 4to.) dice que "todos los ángulos rectos son iguales entre sí".
• Las investigaciones realizadas por el Centro de Epistemología Genética de Ginebra sobre las nociones de geometría en el niño fundamentan la posición teórica de este propuesta y nos permiten elaborar nuevos interrogantes , posibles de ser vistos en el contexto escolar.
• El grupo de investigadores del Massachusetts Institute of Technology , del Departamento de Matemáticas de la División para el Estudio e Investigación en Educación y del Laboratorio de Inteligencia Artifical ha desarrollado desde hace más de diez años investigaciones acerca de nociones geométricas y su dependencia respecto de los objetos con los que interactuan los niños. En esa línea han creado el Lenguaje Logo de programación, con el propósito de brindar una herramienta de excelencia en la construcción de figuras geométricas, advirtiendo que "una de las diferencias mayores entre la geometría de la tortuga y la geometría coordenada descansa en la noción de las propiedades intrínsecas de las figuras geométricas. Una propiedad intrínseca es aquella que depende sólo de la figura en cuestión y no de su relación con un sistema de referencia.", tal como lo afirma Abelson Harold y Andrea diSessa (1986)

Asimismo las investigaciones realizadas por Piaget e Inhelder volcadas particularmente en Aprendizaje y Estructuras de Conocimiento nos brindan aportes teóricos y metodológicos que nos orientan a desarrollar entrevistas clínicas- críticas para observar y determinar la dinámica del progreso que realizan los niños en las distintas etapas de apredizaje de una noción. Conocer esto nos permitirá diseñar situaciones de aprendizaje en sentido estricto que den lugar al surgimiento de conflictos cognitivos; el acierto en estas indagaciones brindará las pautas para la elaboración de didácticas aplicadas al tema.

Esta intención se enmarca en la problemática actual de vincular intrínsecamente los contenidos curriculares con el marco teórico de la psicología genética. Tal como lo señalan Coll y Martí:

2.3. Metodología

La metodología tiene que ver tanto con la teoría general en la que se sustenta la investigación, como con el tipo de objeto de que se trata. El método no es ajeno a ninguna de las dos cuestiones.

Con respecto a la primera, ya existe un método adecuado, flexible como para adaptarse a las diferentes circunstancias : método clínico-crítico.

Con respecto al objeto, aparece la dificultad -y el desafío- de caracterizarlo correctamente porque, si bien es un objeto geométrico, es también un contenido escolar, y esta dualidad da sentido específico a la investigación.

Creación del instrumento de investigación:

La indagación psicogenética tiene como característica importante el hecho de que da lugar a un acercamiento progresivo al objeto de estudio, sobre la base de las primeras interrogaciones. Como el método es dialéctico, las respuestas alimentan interactivamente las nuevas preguntas del investigador, perfeccionando los siguientes interrogatorios.

El propósito es llegar a tener más claras las hipótesis, a partir de una exploración que hace que se puedan ir adecuando progresivamente los dispositivos clínicos, o sea las preguntas claves.

O sea que después de las preguntas exploratorias se cuenta con material para lograr más información: a) sobre las respuestas de los chicos y b) sobre el saber de que se dispone acerca del objeto de conocimiento. " A partir de estas informaciones se elaboran las categorías de análisis que, apoyándose en las respuestas de los sujetos y su especial articulación, dan lugar a la codificación de los datos con el objetivo de describir los sistemas de pensamiento". Un próximo paso incluye tres grandes instancias:

1. Un estudio transversal: indagación psicogenética de una muestra de niños de edades diferentes y de diferentes tipo de escuela, para establecer una secuencia de tipos de respuesta.
2. Estudio longitudinal: preguntar a un grupo pequeño de niños -de los interrogados anteriormente- con una periodicidad tal que ponga de manifiesto los niveles de transición en sus sistemas conceptuales, y establecer filiaciones.
3. Reflexión para examinar a partir de las respuestas antes mencionadas, la naturaleza de las ideas de los niños sobre el objeto de investigación.

Las respuestas son datos para ser analizados. Pero se intenta articularlas, aún provisoriamente, a fin de que puedan ser tratadas como indicadores de algún sistema de pensamiento.

Y aquí vuelve a ser importante tener en cuenta el objeto de conocimiento que estamos tratando. Los ángulos nos rodean, pero no en forma aislada, como tales entes geométricos, sino formando parte de objetos -angulosos-. Tematizarlo es asunto de la escuela, de manera que así con nombre de "recto, agudo, obtuso y llano" y con medidas en grados, sólo llega a los chicos escolarizados y después de 4to. grado.

Entonces las respuestas de las que hablábamos, ¿reflejan el pensamiento espontáneo de los chicos sobre el tema, o el resultado de la información que van teniendo en la escuela?

Toda la investigación tendrá presente la necesidad de tratar de discriminar estas dos fuentes de conocimiento: la propia experiencia y construcción, y el aprendizaje sistemático.

Las indagaciones ya realizadas permiten suponer que el instrumento diseñado es apropiado, dado que las respuestas de los niños ofrecen confirmaciones a nuestras hipótesis y también variaciones inesperadas pero que pueden ser interpretadas con los mismos parámetros que disponemos al momento.

Elaboración de propuestas didácticas, valorización de los recursos tradicionales y computacionales, a la luz de los resultados de esta investigación.

Como docentes de la Carrera de Ciencias de la Educación, nos preocupan las transposiciones didácticas que se producen a partir de supuestos teóricos. Así, comenzamos a explorar el campo de la enseñanza de estos contenidos geométricos, empezando por la elaboración y aplicación de instrumentos de indagación, tanto a los docentes como a los alumnos, para conocer cómo se dan en la práctica estos temas. Las técnicas utilizadas son: cuestionarios semi-estructurados que nos aportarán información acerca de cómo los docentes consideran la conceptualización de las nociones de ángulo dentro del campo de la geometría, su valoración como disciplina y su experiencia pedagógica sobre el tema; material de clasificación (con formas geométricas diversas) con la finalidad de que los alumnos pongan de manifiesto criterios de clasificación inclusiva y sus justificaciones; material de análisis, donde los alumnos puedan ubicar recurriendo a su experiencia, los ángulos. Permitirá este instrumento detectar si las nociones de ángulos están referidas a figuras estáticas exclusivamente o pueden ser aplicadas a experiencias de la vida cotidiana, que impliquen movimiento.

Nos hemos preguntado si estará bien diferenciar un sentido estático y uno dinámico de los ángulos. El primero, clásico de la enseñanza escolar, se traduce en un dibujo en el pizarrón o, en el mejor de los casos, un surtido de objetos “angulosos”: las paredes que se unen en una esquina del salón, un cubo, una hoja de papel, etc. El segundo, el propio cuerpo, un avión cambiando de rumbo, la tortuga doblando y avanzando, etc.

Es muy importante aclarar aquí que esta concepción de ángulo como giro y cambio de dirección, no descarta el sistema de coordenadas considerado fundamental para Piaget. Creemos que lo tiene involucrado como un sistema de referencia para dichos giros. Este sistema referencial es absoluto y el de giros es relativo a él y, en otro sentido, relativo al movimiento del sujeto/objeto que gira. Los puntos cardinales son absolutos y un sujeto puede girar 45 grados partiendo del Norte, o partiendo del SE, lo cual siempre será 45 grados, pero dará por resultado otra orientación, demostrando que la constancia de la amplitud de los ángulos no se contradice con las posiciones relativas de los objetos.

Conocer las concepciones geométricas que están presentes en las ideas de los alumnos al describir y representar la realidad y las ideas que los adultos tienen presentes en la intermediación, a la hora de enseñar un contenido escolar, es útil y necesario. Es útil como andamiaje en su práctica para que los aprendizajes sean lo suficientemente significativos, de modo tal que permitan trabajar en la zona de desarrollo próximo, teniendo en cuenta las nociones espontáneas para construir a partir de éstas, aquellas nociones que hacen a la legalidad del contenido.

2.4. Vinculación De La Investigación Con Las Actividades De Los Especialistas En Educación

Facultad de Filosofía y Letras - Alumnos de la carrera de Ciencias de la Educación

Trabajos de campo: con el objetivo de que los alumnos de grado realicen las experiencias exploratorias articulándolas con el marco teórico, a fin de cumplimentar datos para esta investigación y créditos para su formación.

Trabajos de investigación: : con el objetivo de que los alumnos de grado realicen relevamiento de datos, sus recurrencias y aproximación estadística. Estudios de recursos didácticos y su aplicación en el aula. Evaluación de la eficacia de los recursos utilizados para el logro de los objetivos curriculares que conteplen las nociones de geometría.

Trabajos con maestros: con el objetivo de poner en práctica un segundo aspecto necesario para este trabajo que consiste en un sondeo exploratorio acerca de las nociones que expontáneamente tienen los niños en el aula previa y posteriormente a la enseñanza de estos contenidos curriculares. Además mediante técnicas de entrevistas a los docentes recoger información sobre las experiencias que los maestros tienen acerca del tema, su encuadre teórico, propuestas didácticas tradicionales y originales su derivacion con otros contenidos que permita la temática .

Cursos y Seminarios : con el objetivo de que los graduados profundicen sobre alguno de los aspectos que aborda esta investigación: psicogénesis, didáctica, recursos.

2.5. Bibliografía

Abelson , H. y Di Sessa A., "Geometría de tortuga, El ordenador como medio de exploración de las matemáticas" Madrid. Anaya multimedia 1986.

Antueno, Naveira y Tompson "La computación en el colegio" Logo: Espejo de la mente. Buenos Aires. Editorial Informática Educativa 1984.

Bossuet, G."La computadora en la escuela". Buenos Aires, Paidos 1986

Brousseau, G. " ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de la matemáticas?";Francia , IREM, Universidad de Bordeaux I, 1990.

Carretero, Mario "La busqueda de la Génesis del método Científico: Un Estudio sobre la capacidad de eliminar hipótesis."Barcelona. Infancia y Aprendizaje. Nº38. 1987.

Castorina, José Antonio y otros "El proceso de elaboración de un diseño experimental en psicología genética: la noción de autoridad escolar" Bs. As. , Facultad de Psicología UBA Primer Anuario de Investigación, 1991.

Castorina, José Antonio y otros "La posición del objeto en el desarrollo del conocimiento" en Problemas en Psicología Genética, Bs.As., Miño y Dávila Editores, 1989.

Coll, C. "Aprendizaje Escolar y Construcción del Conocimiento."Barcelona.Paidos1990.

Coll, C. "Psicología y Curriculum" Barcelona. Paidos1991.

Coll, C. "Conocimiento Psicológica y Práctica Educativa. Introducción a las relacones entre Psicología y Educación."Barcelona. Barcanova 1988.

Coll, Palacios, Marchesi (comps) "Desarrollo Psicológico y Educación. Psicología de la Educación". Madrid. Alianza 1990.

Edwars, Mercer "El Conocimiento Compartido. Desarrollo de la comprención en el aula". Barcelona. Paidos M.E.C. 1988.

Holloway, G.E.T. "Concepción de la geometría en el niño según Piaget"Bs. As Paidós 1986

Holloway, G.E.T. " Introducción a la concepción del espacio en el niño."Bs. As. Paidós 1968

Inhelder, Sinclair, Bovet "Aprendizaje y Estructuras de Conocimiento". Madrid. Morata 1975.

Papert, S. M insky, M, "Perceptrons:an introduction tu computational geometry". Cambridge Massachusetts.The Mit Press 1990.

Papert, S."Desafío a la mente". Bs. As. Galápagos 1985

Papert, S."Teaching Children to Be Mathematicians vs. Taeching about Mathematics". Massachusetts Institute of Technology 1971.

Piaget, J., Apostel, L y otros "Construcción y validación de las teorías cientíicas" Bs. As. Paidós, 1986.

Piaget, J "La abstracción Reflexionante", Bs. As., Edit . Huemul, 1980.

Piaget, J "Las corrientes de la epistemología científica contemporáneas" , en Tratado de Logica y Conocimiento Científico, Bs. As. Edit. Paidós, 1979.

Piaget, J. "La Epstemología Genética". Barcelona. A. Redondo 1970.

Piaget, J. "Lógica y Psicología." Barcelona. A. Redondo 1972.

Piaget, J. "Psicología y Conocimiento. Ensayo entre las regulaciones Orgánicas y los Procesos Cognoscitivos." Madrid. Siglo XXI de España 1969.

Pozo, J. "Teorías Cognitivas del Aprendizaje."Madrid. Morata 1989.

Schuster, Félix "El método en la ciencias sociales", Bs. As., Centro Editor de América Latina, 1992.

Schuster, Félix" Explicación y predicción. Bs. As.Clacso 1986

Solomon, C."Entornos de aprendizaje con ordenadores". Barcelona Centro de publicaciones del M.E.C. y ediciones Paidos 1987.

Piaget J. "Psicología del Niño." Madrid. Morata 1973.

3. Fundamentación Complementaria de la Investigación

¿Por qué introducimos la segunda modalidad?

Hay dos grande motivos: la tortuga gira en forma pura, y los ángulos se aprenden haciendo ángulos.

La manera de conocer algo depende tanto de los esquemas que dispone el sujeto como de las propiedades del objeto.

Las estrategias didácticas de los docentes se tienen que relacionar con las estrategias de los alumnos. ¿cómo se consigue eso? Los docentes creemos respetar los caminos del pensamiento de los chicos cada vez que elaboramos una secuencia metodológica de enseñanza de un tema. Pero hay pruebas de que nos equivocamos (una –clásica- fue creer que las palabras cortas y las letras repetidas eran más fáciles y por eso había que enseñarlas primero).

Una garantía para no cometer esos errores sería saber cuáles son los pasos que dan los chicos, y estamos lejos de saberlo para cada conocimiento que adquieren. Pero podemos ofrecer los datos logrados en una investigación -en curso- sobre la nocion de amplitud de los ángulos.

Los niños de alrededor de diez años, al aprender el contenido escolar “ángulos”, cometen errores que se mantienen como hipótesis propias hasta grados superiores, obstaculizando aprendizajes más complejos. Suelen confundir la medición de longitud de líneas con la amplitud de abertura del ángulo. Este tipo de error, en función de la investigación efectuada hasta la fecha, (3) se puede atribuir a sus ideas previas puestas en contraste con los aprendizajes obtenidos con la metodología escolar tradicional. La herramienta informática Logo, con su geometría de la tortuga, permitiría a los niños comprender al ángulo como amplitud de giro, con independencia del encuadre en líneas, lados o figuras cerradas.

¿Por qué? Porque la tortuga opera con el ángulo despojado de toda otra connotación, gira un número de grados y con eso cambia de orientación, trace o no trace las líneas.

Algunos ejemplos de los errores sistemáticos de los chicos, revelados mediante el método clínico-crítico de la psicología genética.

Fragmentos de diálogos de indagaciones clínicas, en las que se comienza dibujando sin instrumentos de medición, un ángulo recto formado por semirrectas de unos 3 cm de longitud.

Se le pregunta al niño sobre lo que cree que es, y a medida que se avanza se busca el modo en que responda sobre si encuentra relación entre la longitud y la amplitud. El recorte que presentamos no deja ver la riqueza de las diferentes respuestas, porque hemos seleccionado sólo algunas, circunscriptas al tema.

¿Qué es esto?	Un ángulo
¿Cómo te parece que es?	Un recto
¿Sabés cuánto mide?	90 grados
¿Dónde están los 90 grados?	Hace una curvita en el lugar donde tradicionalmente vio que se hace.
Trazamos una línea punteada, hipotética, lejos del vértice del ángulo ¿y acá medirá lo mismo?	No, ahí mide más, unos 140 grados
Otra posibilidad de continuación es: hacer otro ángulo, más chico en líneas y preguntar: Este medirá lo mismo, más o menos?	Es un recto, igual, pero mide menos, tendrá unos 20 grados
¿Cuánto medirá este?	90 grados
¿Qué son los grados?	Rayitas, como los milímetros, pero del transportador
¿Cuánto medirá éste?	Unos 50 grados
Después de varias preguntas... pide una regla, pone la regla en la abertura del ángulo y dice	Cada 10 milímetros son 5 grados, ves, hay 50 grados

Para favorecer la comprensión del concepto de amplitud de ángulos seguramente habrá diferentes caminos, pero así como para aprender los números hay que usar los números, para aprender los ángulos la mejor oportunidad es la de usar los ángulos. Pero en la vida cotidiana no se usan los ángulos en forma estricta, sólo se distinguen el recto y los menores o mayores que el recto, la medición precisa de la amplitud pertenece al ámbito netamente escolar.

Éxito en las acciones, comprensión de las razones

Es el título de una obra de Piaget, referida a la toma de conciencia, pero que viene a cuento para ilustrar el hecho de que muchos chicos aplican bien los aprendizajes logrados: miden con transportador, anotan la medida, comparan ángulos, dibujan ángulos según una consigna, etc. pero en el interrogatorio clínico igualmente suelen mostrar una confusión entre la longitud de las semirrectas y la medida del ángulo, en la localización del ángulo (vértice, final de la línea vertical, curvita) en la medición sexagesimal, etc..

Cuando se trabaja con la computadora con nociones de programación, ésta se convierte en un recurso para crear nuevas estrategias de aprendizaje, porque devuelve al alumno la responsabilidad de resolver las cuestiones, y lo induce a reflexionar sobre sus propios procesos de pensamiento.

Como dice Brousseau “Si una situación lleva al alumno a la solución como por un carril ¿cuál es su libertad de construir su conocimiento? Ninguna. La situación didáctica debe conducir al alumno a hacer lo que se busca pero, al mismo tiempo , no debe conducirlo. (...) Será necesario que el conocimiento intervenga como anticipación y no progresivamente como respuesta . A la inversa, si el maestro no tiene intención, proyecto, problema o situación elaborada, el niño no hará ni aprenderá nada (...) . La didáctica no consiste en ofrecer un modelo para la enseñanza, sin en producri un campo de cuestiones que permita poner a prueba cualquier situación de enseñanza, y corregir y mejorar las que se han producido, formular interrogantes sobre lo que sucede. “

Para nuestro propósito, si bien lo ideal es que los alumnos lleven a cabo proyectos propios, en los que se ponen en juego las nociones que el docente quiere que aprendan, esto a veces es no se puede concretar y aun así para nosotros sería dificil reseñar cada caso. Por eso desarrollamos una secuencia didáctica a modo de ejemplo:

Hagan una cruz con el programa línea (1) y el giro que corresponda:

Supongamos que los alumnos hacen cuatro veces:

Línea  Derecha 90

O bien

Repite 4 [ Línea Derecha 90]

Ahora haganla de 8 palitos o líneas:

Repite 8 [ Línea Derecha 90]

(queda el mismo dibujo, y como la tortuga va rápido puede ser que no se den cuenta qué pasó) Se pone entonces tortugalenta.

La reflexión lleva a ver que para que haya más palitos tiene que “doblar distinto”, menos... llegan a decir “la mitad”.

Lo hacen.

Pregunta: ¿cuánto giró en total la tortuga?

Suman o multiplican:

Da siempre 360!!!

Luego se les propone que hagan diferentes variaciones, con más líneas.

Acá las estrategias de aprendizaje pueden ser propias, ya que se les brinda lo necesario para poder encontrarlas: a) un programa “línea” , b) una ayuda para entender qué es lo que hay que variar dentro de una constante que es 360 grados, c) el vocabulario necesario, y d) la posibilidad de probar.

Con el ejemplo de los ángulos tenemos a la computadora como recurso de verificación, en el sentido de comprobar y falsar hipótesis.

Sabemos que aprender es un proceso activo, que tiene en su camino la resolución de conflictos. Para que haya conflicto tiene que haber hipotesis frustradas, ideas previas y un fracaso o choque con el objeto, que dice no. Ese es uno de los valores constructivos del error, y para resolver el conflicto y superar el error, tienen que tener a la mano los elementos necesarios y el docente o informante para consultar.

Los chicos saben que las respuestas de la computadora no son ambiguas, que la tortuga es un robot que obedece, así que si no sale lo que quieren tarde o temprano tienen que revisar lo que pusieron. En cambio con lápiz y papel, midiendo, si el transportador fue mal ubicado o se tomó el número del transportador que no correspondía, sólo lo comprobará cuando el docente pueda corregirlo, y aún así podrá legítimamente preguntarse ¿para qué?

(1) Para evitar el factor de la orientación, y para imitar lo que haría con un lápiz , se le proporciona un programita que dibuja una linea haciendo “ida y vuelta”, o sea volviendo al punto de partida. Lo llamamos línea.

4. Preguntas, Dudas, Comentarios, Peticiones

5. Enlaces

Tabla de Conversión de Grados a Radianes y Transportador de Ángulos

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