Torneo de Computación y Matemática - Nivel 1

8mo Torneo de Computación y Matemática
Nivel 1 (7mo y 8vo año de escolaridad)
Ronda Final

Contenido

1. Pregunta 1

Darío logró demostrar que la ecuación

y² = x³ + 9

tiene diez soluciones enteras (o sea que x e y son números enteros). Encontrarlas a todas.

1.1. Posible Solución

Esto es el producto cartesiano de los números enteros de -3 a 3.

Podemos ver si la ecuación se cumple para algunos pares de los anteriores. Para el primer par siguiente no se cumple, para el segundo sí se cumple.

Podemos aplicar el anterior criterio para escoger pares. Ahora lo hacemos en un dominio más amplio, en el cuadrado que va desde (-40,-40) a (40,40). Encontramos 8 de las 10 soluciones.

Las otras dos soluciones nos eluden por el momento. Queremos saber, para qué otros valores de x e y se cumple la ecuación. Esto equivale a buscar valores de y enteros producidos mediante:

y = RaízCuadrada(x³ + 9)

Vemos que para x = 0, y= 3 y que para x = 3, y = 6. En lo siguiente escogemos todos los valores en los que y es entera.

Vayamos un poco más lejos (hasta x = 500)

Resulta entonces que otro par era (40,253). Así que todos los pares son:

2. Pregunta 2

Contar cuántos números menores que 1000000, de la forma

8 · a² · b - 6 · a² + 4 · b² + 5 · b - 6

con a y b enteros positivos, son primos.

Nota: Los números primos son los que tienen como únicos divisores al 1 y a sí mismos, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

2.1. Posible Solución

Lo siguiente es una tabla a versus b en la que las celdas son el resultado de evaluar la expresión anterior:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	5	30	63	104	153	210	275	348	429	518
2	11	60	117	182	255	336	425	522	627	740
3	21	110	207	312	425	546	675	812	957	1110
4	35	180	333	494	663	840	1025	1218	1419	1628
5	53	270	495	728	969	1218	1475	1740	2013	2294
6	75	380	693	1014	1343	1680	2025	2378	2739	3108
7	101	510	927	1352	1785	2226	2675	3132	3597	4070
8	131	660	1197	1742	2295	2856	3425	4002	4587	5180
9	165	830	1503	2184	2873	3570	4275	4988	5709	6438
10	203	1020	1845	2678	3519	4368	5225	6090	6963	7844

La siguienta tabla nos dice cuandos factores primos tiene cada número de la tabla anterior.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	3	3	4	3	4	3	4	3	3
2	1	4	3	3	3	6	3	4	3	4
3	2	3	3	5	3	4	5	4	3	4
4	2	5	3	3	3	6	3	4	3	4
5	1	5	4	5	3	4	3	5	3	3
6	3	4	4	4	2	7	6	3	3	5
7	1	4	3	5	4	4	3	6	3	4
8	1	5	4	3	5	6	3	4	3	5
9	3	3	3	6	3	5	5	4	3	4
10	2	5	4	3	4	7	4	5	3	4

Con lo siguiente contamos el número de factores de cada valor de cada una de las celdas anteriores:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
7	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
8	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Los números primos sólo tienen un factor. Se nota que los números primos sólo están en la columna en la que b=1. Nos hicieron dar cuenta que:

8a²b - 6a² + 4b² + 5b - 6 = (4b - 3) (2a² + b + 2) = n₁ · n₂

es decir, el producto de dos números, el primer número formado así: n₁ = 4b - 3. Si b = 1, n₁ será 1, pero si b = 2 curre que n₁ será 5. Es decir, los números formados a partir de la fórmula tendrían como factor al número 5, y no serían primos.

Para cualquier b > 1 la expresión dará un número que tendría como factor un n1 diferente de 1, y no será primo. Así que modificamos la expresión fijando b = 1:

Para valores de a entre 1 y 10 obtenemos los siguientes resultados. Escogemos los números primos:

Vemos para qué valores de a, el número resultante es igual a 1000000.

Vemos que para a = 708 el resultado se pasa de 1000000. Por lo que usamos 707

3. Pregunta 3

Un comerciante quiere fijar el precio de un producto, pero resulta que el producto tiene un 5% de impuesto sobre el precio base. Dado un precio base con dos decimales, se le suma el impuesto truncándolo a dos decimales.

Por ejemplo si el precio base es de $1.11 al agregarle el impuesto queda $1,1655 que se trunca a $1,16 y este último sería el precio al público.

Para comodidad de los clientes el precio final tiene que terminar en 00 centavos, es decir, ser entero. Por ejemplo, si el precio base es $2.86, el impuesto es $0.143, y el precio final es $3.00; por lo tanto $3 es un precio alcanzable.

Preguntas: ¿Hay algún precio final que no se pueda alcanzar? ¿Hay por lo menos tres precios finales que no se puedan alcanzar?

3.1. Posible Solución

Interesante y extraña pregunta. No creemos haber entendido bien las matemáticas involucradas. De todas maneras...

Intentamos encontrar método que nos dé los precios bases de precios finales propuestos. Si, por alguna razón el método falla para algún precio final propuesto, es posible que aquel preció final no pueda alcanzarse. Buscamos el precio base del precio final 4.00 y de esta forma diseñamos un método:

Ahora necesitamos probar si nuestro método para calcular precios base a partir de precios finales funciona:

El primer 4 del par anterior es el precio final sugerido del cual tratamos encontrar el precio base. El segundo 4 es el preciso final calculado a partir del precio base encontrado a partir de precio final sugerido. Ambos son iguales así que 4 sí es un precio final alcanzable. Intentemos otro precio final sugerido:

En este caso, nuestro método para encontrar precios bases falló. Quizá porque 5 no es un precio final alcanzable, quiza porque nuestro método tiene fallas. Pero 5 sí es un precio final alcanzable:

Entonces: nuestro método tiene fallas.

Por intuición pensamos que el problema de nuestro método está en la función redondea. La reemplazaremos por la función techo. Con este cambio el método funciona para varios otros precios finales sugeridos:

Intentamos para muchos otros números y marcamos los pares que son iguales:

Buscamos los precios finales sugeridos en los que el método falla. Y vemos si realmente existen razones para que haya fallado:

Contestando a las preguntas: Sí y Sí.

4. Pregunta 4

Para un interesante torneo, queremos armar un problema con la siguiente ecuación:

391 · x + 323 · y = n

Lo que buscamos es que si se calculan todos los posibles valores de x e y enteros positivos que cumplen con la ecuación con ese n, haya solución pero sea única (un solo valor posible de x e y).

a) Comprobar que se puede usar el valor n = 2006.

b) Si queremos que n esté entre 10000 y 100000, ¿qué valor de n podemos usar?

4.1. Posible Solución

391 · x + 323 · y = 2006

y = (2006 - 391 · x) / 323

Resulta que sólo hay 5 enteros positivos para x, los cuales resultan en un y positivo, y solamente uno de ellos x = 1, resulta en un y entero, y = 5. Para cualquier otro x > 5 resultarán valores de y negativos.

En el caso de n = 2006, x no pudo ser mayor que 5 porque produciría valores de y negativos. Encontremos una forma de calcular estos límites superiores para cualquier n.

Usemos este límite superior para proponer valores de x y luego valores de y. Hagamos pruebas con n = 2006

Aplicamos el mismo desarrollo para crear una función que produzca tríadas [n x y] para un valor de n dado.

Usemos esta función para buscar tríadas que tengan valores de y enteros. Buscaremos de forma preliminar entre 10000 y 10100:

Para un mismo valor de n existen a veces más de una tríada. Nos interesan sólo las que son únicas. Por ejemplo:

Hay muchas tríadas válidas. Probemos las primeras:

5. Pregunta 5

Calcular la suma de los divisores positivos impares de 87094528.

Nota: Por ejemplo los divisores de 33 son 1, 3, 11 y 33.

5.1. Posible Solución

6. Pregunta 6

Cierto número de 5935 cifras está escrito usando sólo tres dígitos distintos, ninguno de los cuales aparece menos de 100 veces. La suma de sus cifras es 5981 y la suma de los cuadrados de sus cifras es 9957. ¿Qué dígitos son y cuántas veces aparece cada uno?

Ejemplo: 2005 tiene 4 cifras, la suma de sus cifras es 2+0+0+5 = 7, y la suma de los cuadrados de sus cifras es 4+0+0+25 = 29.

6.1. Posible Solución

1. r1·c1 + r2·c2 + r3·c3 = 5981
2. r1·c1·c1 + r2·c2·c2 + r3·c3·c3 = 9957
3. r3 = 5935 - r1 - r2

Reemplazando la tercera ecuación en la primera:

r1·c1 + r2·c2 + (5935 - r1 - r2)·c3 = 5981

Y luego resolviendo para r2.

r1·c1 + r2·c2 + 5935·c3 - r1·c3 - r2·c3 = 5981

r1·c1 + r2·c2 - r2·c3 + 5935·c3 - r1·c3 = 5981

r1·c1 + r2·(c2 - c3) + 5935·c3 - r1·c3 = 5981

r2 = (5981 + r1·c3 - r1·c1 - 5935·c3) / (c2 - c3)

Creamos una función asociada a la segunda ecuación. Esta función devolverá 0 en caso de cumplirse la ecuación. También definimos funciones que devuelven los valores de r2 y r3 a partir de r1, c1, c2 y c3.

Vemos qué devuelve la función eq2 para varios valores de r1, c1, c2 y c3.

Vemos que no puede haber una solución para c1 = 1, c2 = 2, c3 = 3 ya que la función eq2 siempre devuelve valores negativos para todos los posibles valores de r1.

Sin embargo, para c1 = 0, c2 = 1, c3 = 2 sí existe algún valor de r1 que cumple con la ecuación 2, ya que la función eq2 cambia de signo en algún valor de r1 entre 100 y 5935-200. Buscamos ese valor:

Calculamos el valor de r2:

Calculamos el valor de r3:

Veamos si todo se cumple:

El siguiente código nos sirvió para comprobar que la solución es única:

7. Preguntas, Dudas, Comentarios, Peticiones

8. Enlaces

Soluciones de Problemas de otros niveles

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