El valor de PI

Un poquito de historia y dos métodos para calcular el valor de pi, utilizando el lenguaje de programación Logo.

Contenido

1. Introducción

Este artículo utiliza el lenguaje de programación Logo y el intérprete FMSLogo para calcular el valor de pi. Pi es una constante numérica que ya es parte del lenguaje de programación Logo y que se utiliza en la vida cotidiana para hacer cálculos relacionados con círculos, como diámetros, perímetros, radios. La constante pi también aparece en cálculos estadísticos o en integración de funciones trigonométricas, por lo que también es usada en programas informáticos que ayudan a resolver este tipo de problemas.

2. Historia

A medida que el diámetro de un círculo aumenta la longitud de su circunferencia aumenta también:

En la antigüedad se pensó que la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia de un círculo, sabiendo su diámetro debería ser:

circunferencia = diámetro × π

El símbolo π representa un valor constante y se lo llama pi, pero no se sabía el valor de pi con exactitud. En la Biblia (1 Reyes 7, 23) dice que "Heriam"...

Es decir:

• circunferencia = diámetro × π
• 13.5 = 4.5 × π

¿Qué número multiplicado por 4.5 nos da 13.5? La respuesta es 3.

• 13.5 = 4.5 × π
• 13.5 = 4.5 × 3

π = 3

Para Heriam, el valor de pi era 3. En otros tiempos se pensaba que el valor de pi era otro:

Matemático o Lugar	año	valor
La Biblia (1 Reyes 7, 23)		3
Papiro de Ahmes (Egipto)	1650 a.C.	3.16
Tablilla de Susa (Babilonia)	1600 a.C.	3.125
Bandhayana (India)	500 a.C.	3.09
Arquímedes de Siracusa	(287-212 a.C)	entre 223/71 y 220/70
Liu Hui (China)	260	3.1416
Tsu Chung Chih	480	Entre : 3.145926 y 3.1415927
Al-Kashi (Persia)	1429	3.1415926535897932
Franciscus Vieta (Francia)	(1540-1603)	3.1415926536

3. Cálculo de pi, método 1

Una forma de calcular el valor de pi es calcular el perímetro de un polígono de muchos lados que está dentro de un círculo de diámetro conocido ya que mientras más lados tenga un polígono, más se parece a la circunferencia, y su perímetro se parecerá más a la longitud de la circunferencia:

Podemos usar la computadora y LOGO para calcular el perímetro. El procedimento aproximación calcula el perímetro de un polígono de n lados. Mide la longitud de cada lado y va acumulando el valor en la variable perimetro:

Ya que el perímetro del hexágono es el valor aproximado de la longitud de la circunferencia, el valor aproximado de pi será:

• π = circunferencia / diámetro
• π = 599.999997189032 / 200
• π = 2.99999998594516

• π = 612.29349127042 / 200
• π = 3.0614674563521

• π = 618.033985727494 / 200
• π = 3.09016992863747

• π = 625.737857100848 / 200
• π = 3.12868928550424

• π = 627.905192080941 / 200
• π = 3.13952596040471

A continuación están las aproximaciones al valor de pi usando polígonos de más lados. La última usando un polígono de 5000 lados:

4. Cálculo de pi, método 2

Otro método que podría usarse para calcular el valor de pi se basa en la fórmula de la superficie del círculo:

• superficie = radio² × π
• π = superficie / radio²

De esta forma podríamos saber el valor de pi si conociéramos el radio y la superficie de un círculo. Podemos estimar la superficie de un círculo que tiene un radio dado usando nuevamente la computadora y Logo. La idea es ubicar muchos puntos al azar dentro de un cuadrado. Imaginaremos que este cuadrado limita a un círculo que está dentro de él. Este círculo imaginario tendrá un radio que mide la mitad del lado del cuadrado. Cualquier punto que ubiquemos dentro del cuadrado y que esté más cerca del centro del círculo que su radio estará dentro del círculo imaginario y lo marcaremos con verde. Mientras que los puntos que estén fuera del círculo imaginario los marcaremos con rojo.

Luego podremos hacer la siguiente regla de tres: la cantidad de puntos verdes es al total de puntos dibujados como la superficie del círculo es a la superficie del cuadrado. Y podremos calcular la superficie del círculo con la siguiente fórmula:

superficie.círculo = puntos.verdes × superficie.cuadrado / total.puntos

5. Un millón de cifras de pi

El valor de pi no puede calcularse numéricamente con total precisión porque es un número irracional. Eso quiere decir que, por más cifras decimales que logremos calcular correctamente, siempre habrá más cifras decimales que desconocemos. En la actualidad se conocen miles de millones de cifras decimales del valor de pi. Este archivo contiene el primer millón de cifras de pi (1.3MB).

6. Licencia

Este es un documento libre.

Autor: Daniel Ajoy

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7. Preguntas, Dudas, Comentarios, Peticiones

8. Enlaces

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