Problema de Triángulos

Este es uno de tantos problemas de triángulos ¿Cuánto miden los segmentos a y b?

Añadimos unas letras para nombrar a los extremos de los segmentos que conforman la construcción.

La primera cosa que notamos es que el triángulo yxw no es semejante al triángulo yvz, ya que los segmentos xw y vz no son paralelos. Consecuentemente el ángulo x no mide 101°, ni el ángulo z mide 38°. Que pena.

Nuestra estrategia será recorrer con la tortuga de Logo la trayectoria ywxvz. Cuando tengamos estos segmentos bien construidos pensamos hacer las mediciones necesarias para saber las longitudes de los segmentos a y b.

Empezamos orientando la tortuga hacia la derecha, avanzando los 130 pasos y girando los grados necesarios para formar el ángulo ywx

Nuestro primer obstáculo viene a continuación ya que no conocemos la longitud de wx; es una incógnita. Eso nos sugiere construir un procedimiento que reciba una entrada para que luego podamos jugar con esta incógnita.

Luego con encontramos con el siguiente inconveniente: el ángulo wxv tampoco tiene un valor dado. Tendremos que definir otra entrada para nuestro procedimiento.

Lo siguiente ya es más fácil. Avanzamos 70 pasos, giramos lo necesario para formar el ángulo de 101° y avanzamos 88 pasos.

Con nuestro procedimiento listo podemos empezar a jugar. Adivinamos la longitud de wx; probablemente sea menor que 88 ya que vz tiene una longitud de 88 y parece más largo. También adivinamos un tamaño para el ángulo wxv; parece un poco más grande que ywx que sabemos tiene 38°. Intentamos con 40 y 80 primero y luego con 40 y 50. (Al parecer los científicos prefieren jugar con una variable a la vez).

Vemos que estas construcciones están mal, pero gracias a que las hicimos podemos darnos cuenta de varias cosas. Para que la construcción esté bien la posición final de la tortuga debe estar alineada al segmento yw (el horizontal). Además, el segmento xv no se ve bien. En la primera construcción está muy parado (vertical) y en la segunda está demasiado acostado (horizontal). De extender el segmento xv este debería tocar el punto y (el punto de partida de la tortuga). Esto nos da la idea de que cuando la tortuga está en el punto x debería tomar el rumbo opuesto al que tomaría si deseara llegar al punto y. Por lo que modificamos el procedimiento.

Al realizar esta modificación vemos que el procedimiento ya no necesita de wxv como entrada. Ahora juguemos con la longitud del segmento wx.

Vemos que, si damos al segmento wx una longitud de 80, la posición final de la tortuga no logra alinearse con el segmento horizontal. Está por encima. Pero cuando le damos una longitud de 50 tampoco logra alinearse porque está por debajo. Si recordamos algo del plano cartesiano sabremos que el segmento horizontal (yw) esta justamente en el eje X, es decir todos sus puntos tienen, en su coordenada Y, el valor de 0. Lo mismo debería ocurrir con la posición final de la tortuga: el punto z debe tener una coordenada Y igual a 0. ¿Cuál es la coordenada Y de z en las construcciones anteriores? Logo nos lo puede decir.

Ahora el procedimiento triangulo se ha convertido en una función que recibe un número y devuelve otro. Deseamos encontrar un valor para entregar a triangulo que resulte en O.

Existen varios métodos numéricos para hacer justamente esto. Uno consiste en ir acorralando al valor de buscamos: ya que sabemos que 80 es muy alto y 50 es muy bajo el valor que buscamos debe estar entre los dos. Quizá sea el valor que está a medio camino entre 80 y 50, es decir 75... Este método se llama método de bisección y puede ser programado en Logo.

Otro método podría ser intentar muchos valores entre 50 y 80, y finalmente quedarnos con el que al pasárselo a triangulo produzca un número muy cercano a 0. Aún otro método podría ser realizar una gráfica comparando valores de entrada a triangulo con valores de salida de triangulo:

Esta gráfica fue preparada con LogoFE y de por ella sabemos que la longitud de wx es muy cercana a 64, pero:

LogoFE también implementa un método numérico para encontrar los valores que hacen 0 a una función.

¿Y cuánto miden los segmentos a y b? Bueno, midamos:

¿Será cierta tanta maravilla?

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Autor: Daniel Ajoy

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