¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones de 4 ecuaciones y 4 incógnitas?

Fórmulas directas de resolución sin el método de Cramer. Resolución de sistemas de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Esta es la forma sin necesidad de usar el método reducción de Gauss. Cómo resolver un sistema de 4 ecuaciones lineales. Métodos para resolver sistemas lineales 4x4. Sin necesidad de eliminación gaussiana para 4 ecuaciones. Sin aplicación del Método matricial para 4 ecuaciones lineales. Sistemas de 4 variables. Ecuaciones simultáneas ya realizada la sustitución. Aplicaciones de 4 ecuaciones lineales en la vida real.

Si tienes un sistema de 4 incógnitas (w, x, y, z) y tienes las cuatro ecuaciones siguientes, donde las letras a, b, c, d, e representan los números de cada ecuación.

Sistemas de 4 Ecuaciones y 4 incógnitas

Puedes usar las siguientes fórmulas para encontrar los valores exactos de las incógnitas.

a1 w + b1 x + c1 y + d1 z = e1
a2 w + b2 x + c2 y + d2 z = e2
a3 w + b3 x + c3 y + d3 z = e3
a4 w + b4 x + c4 y + d4 z = e4

Nota que w, x, y, z están expresandas únicamente en términos de los coeficientes, es decir, son números):

w = -(((b1 c2 - b2 c1) d3 + (b3 c1 - b1 c3) d2 + (b2 c3 - b3 c2) d1) e4
    + ((b2 c1 - b1 c2) d4 + (b1 c4 - b4 c1) d2 + (b4 c2 - b2 c4) d1) e3
    + ((b1 c3 - b3 c1) d4 + (b4 c1 - b1 c4) d3 + (b3 c4 - b4 c3) d1) e2
    + ((b3 c2 - b2 c3) d4 + (b2 c4 - b4 c2) d3 + (b4 c3 - b3 c4) d2) e1)
    /(((a1 b2 - a2 b1) c3 + (a3 b1 - a1 b3) c2 + (a2 b3 - a3 b2) c1) d4
    + ((a2 b1 - a1 b2) c4 + (a1 b4 - a4 b1) c2 + (a4 b2 - a2 b4) c1) d3
    + ((a1 b3 - a3 b1) c4 + (a4 b1 - a1 b4) c3 + (a3 b4 - a4 b3) c1) d2
    + ((a3 b2 - a2 b3) c4 + (a2 b4 - a4 b2) c3 + (a4 b3 - a3 b4) c2) d1)

x =  (((a1 c2 - a2 c1) d3 + (a3 c1 - a1 c3) d2 + (a2 c3 - a3 c2) d1) e4
    + ((a2 c1 - a1 c2) d4 + (a1 c4 - a4 c1) d2 + (a4 c2 - a2 c4) d1) e3
    + ((a1 c3 - a3 c1) d4 + (a4 c1 - a1 c4) d3 + (a3 c4 - a4 c3) d1) e2
    + ((a3 c2 - a2 c3) d4 + (a2 c4 - a4 c2) d3 + (a4 c3 - a3 c4) d2) e1)
    /(((a1 b2 - a2 b1) c3 + (a3 b1 - a1 b3) c2 + (a2 b3 - a3 b2) c1) d4
    + ((a2 b1 - a1 b2) c4 + (a1 b4 - a4 b1) c2 + (a4 b2 - a2 b4) c1) d3
    + ((a1 b3 - a3 b1) c4 + (a4 b1 - a1 b4) c3 + (a3 b4 - a4 b3) c1) d2
    + ((a3 b2 - a2 b3) c4 + (a2 b4 - a4 b2) c3 + (a4 b3 - a3 b4) c2) d1)

y = -(((a1 b2 - a2 b1) d3 + (a3 b1 - a1 b3) d2 + (a2 b3 - a3 b2) d1) e4
    + ((a2 b1 - a1 b2) d4 + (a1 b4 - a4 b1) d2 + (a4 b2 - a2 b4) d1) e3
    + ((a1 b3 - a3 b1) d4 + (a4 b1 - a1 b4) d3 + (a3 b4 - a4 b3) d1) e2
    + ((a3 b2 - a2 b3) d4 + (a2 b4 - a4 b2) d3 + (a4 b3 - a3 b4) d2) e1)
    /(((a1 b2 - a2 b1) c3 + (a3 b1 - a1 b3) c2 + (a2 b3 - a3 b2) c1) d4
    + ((a2 b1 - a1 b2) c4 + (a1 b4 - a4 b1) c2 + (a4 b2 - a2 b4) c1) d3
    + ((a1 b3 - a3 b1) c4 + (a4 b1 - a1 b4) c3 + (a3 b4 - a4 b3) c1) d2
    + ((a3 b2 - a2 b3) c4 + (a2 b4 - a4 b2) c3 + (a4 b3 - a3 b4) c2) d1)

z =  (((a1 b2 - a2 b1) c3 + (a3 b1 - a1 b3) c2 + (a2 b3 - a3 b2) c1) e4
    + ((a2 b1 - a1 b2) c4 + (a1 b4 - a4 b1) c2 + (a4 b2 - a2 b4) c1) e3
    + ((a1 b3 - a3 b1) c4 + (a4 b1 - a1 b4) c3 + (a3 b4 - a4 b3) c1) e2
    + ((a3 b2 - a2 b3) c4 + (a2 b4 - a4 b2) c3 + (a4 b3 - a3 b4) c2) e1)
    /(((a1 b2 - a2 b1) c3 + (a3 b1 - a1 b3) c2 + (a2 b3 - a3 b2) c1) d4
    + ((a2 b1 - a1 b2) c4 + (a1 b4 - a4 b1) c2 + (a4 b2 - a2 b4) c1) d3
    + ((a1 b3 - a3 b1) c4 + (a4 b1 - a1 b4) c3 + (a3 b4 - a4 b3) c1) d2)

Puedes usar estas fórmulas para traducirlas a tu lenguaje de programación o como una manera directa (sin tener que pensar) de encontrar los valores de las letras, simplemente tendrías que reemplazar los números en los lugares correspondientes y realizar las operaciones. No es necesario en este caso aplicar ninguno de los métodos de resolución de ecuaciones lineales (sustitución, reemplazo, suma y resta, determinantes) ni saber cual de ellos sería el más adecuado. Adicionalmente, muchas de las líneas de operaciones anteriores podrían ser anuladas, si alguna de los coeficientes de del sistema resulta ser cero, ya que al multiplicar un número por cero, todo la línea será cero.

Los sistemas de cuatro ecuaciones lineales pueden surgir en varios campos y tener numerosas aplicaciones. Estos son algunos usos populares de los sistemas de 4 ecuaciones lineales:

  • Ingeniería: en ingeniería estructural, se pueden usar sistemas de cuatro ecuaciones lineales para determinar las fuerzas que actúan sobre una estructura o armadura compleja. Cada ecuación representa el equilibrio de fuerzas en diferentes direcciones en varias articulaciones.
  • Economía: Los sistemas de cuatro ecuaciones lineales se pueden emplear en el análisis de insumo-producto, un método utilizado para estudiar las interdependencias entre diferentes sectores de una economía. Las ecuaciones representan las relaciones entre los productos de varios sectores y los insumos requeridos de otros sectores.
  • Física: en física, los sistemas de cuatro ecuaciones lineales se pueden utilizar en problemas relacionados con la electricidad y el magnetismo. Por ejemplo, en el análisis de circuitos, las leyes de Kirchhoff se pueden expresar como un sistema de cuatro ecuaciones lineales para determinar las corrientes y voltajes en una red de resistencias, capacitores e inductores.
  • Optimización: los sistemas de cuatro ecuaciones lineales se pueden emplear en problemas de optimización, donde el objetivo es maximizar o minimizar una determinada función objetivo mientras se satisface un conjunto de restricciones. Las ecuaciones representan las restricciones y la solución del sistema proporciona los valores óptimos de las variables.
  • Gráficos por computadora: los sistemas de cuatro ecuaciones lineales se utilizan con frecuencia en los gráficos por computadora para realizar transformaciones, como rotaciones, traslaciones y escalas. Las ecuaciones describen las relaciones entre las coordenadas de los puntos antes y después de la transformación.
  • Dinámica de fluidos: pueden surgir sistemas de cuatro ecuaciones lineales en problemas de dinámica de fluidos, particularmente cuando se trata de cuatro incógnitas, como componentes de velocidad y presión. Estas ecuaciones, derivadas de las ecuaciones de Navier-Stokes, describen el comportamiento de los fluidos en diferentes escenarios.

Estos son solo algunos ejemplos de los usos populares de los sistemas de cuatro ecuaciones lineales. Sin embargo, es importante tener en cuenta que las aplicaciones pueden extenderse a otros campos, como las finanzas, la biología y las ciencias ambientales, según el problema específico que se analice.